提升品质让教学从有效走向长效(2)

案例2 在数列的习题课中，我给出了这样一个问题：已知等差数列{an}的首项不为零，前n项的和记作Sn，且满足S9=S23.你能得出什么结论？并如何加以解决？

学生初探：(1)由a1+a2+…+a9=a1+a2+…+a23得a10+a11+…+a23=0；(2)a10+a23=0；(3)设等差数列的公差为d，则由9a1+36d=23a1+23×11d，得2a1+31d=0；(4)若a1>0，则d<0；若a1<0，则d>0；(5)当a1>0时，Sn有最大值；当a1<0时，Sn有最小值．

教师呼应：我向大家出示的结论与同学们得出的类似：(1)S32=0；(2)若a1>0，则当n=16时，Sn最大；若a1<0，则当n=16时，Sn最小.大家有哪些方法可以证明这一结论呢？

有的同学从下标性质入手，合理配凑；有的从基本量入手，求解方程；有的则从函数形态入手，数形结合.由于思维起点不同，学生解题的策略也会有差异，这正是宏观整合知识结构，渗透数学思想方法，优化思维品质的最佳时机，通过相互之间的交流、讨论、比较和总结，能引发思维的“共振”，促进能力的发展和素质的提高．

把题设中S9=S23改为Sm=Sk(m≠k)，能得出什么结论？

改为一般情形后，增加了问题的复杂性，函数思想的优势便显现出来了，由因a1≠0，故d≠0.考虑函数是关于x的二次函数且其图象过原点.易得二次函数图象的对称轴方程为由此得Sm+k=0.设a1>0，若m+k为偶数，则当时，Sn最大，若m+k为奇数，则当时，Sn最大；设a1<0，若m+k为偶数，则当时，Sn最小，若m+k为奇数，则当时，Sn最小．

这样以一道典型例题为基本素材，让学生由相同的题设，提不同的问题；解相同的题目，找不同的思路；变同一个问题，得不同的结论，从而给不同层次的学生提供多种想象空间，以展示学生的思维、个性和才华，享受成功探觅后的喜悦，提升教学的品质．

4 关注知识的附加值，找到提升品质的途径

安德森在《学习、教学和评估的分类学》一书中，把认知过程维度分为记忆、理解、运用和分析、评价和创造六个层次.记忆主要是针对一些知识的基本要素，理解就是指把握主干知识的整体框架和内在联系，运用和分析主要是指基本技能和思想方法，评价和创造主要涉及情感、态度和价值观，即有关自我认知的意识和调控.在实际教学中，我们往往追求教学的短期效应，教给学生一些孤立的、表面的、静态的知识，而对学生可持续发展最受用，影响最深远的知识却缺乏高度的重视.我们需要认真思考怎样的知识对学生今后的发展最有价值，进而教给学生高品质、高附加值的知识．

案例3 函数的的概念教学.函数的认知可分为如下六个层次.记忆层次：知道函数的变量说和对应说的概念.理解层次：理解引入函数对应说的必要性与合理性，理解函数的三个要素及其关系，会判断一个对应是否为函数.运用层次：能利用函数的概念及其表示，独立完成书本上的问题与练习.分析层次：理解引入函数对应说的原因与基本方法，认识到函数的相关概念和符号对进一步有效研究函数性质的重要性.评价层次：理解引入函数相关概念和符号对研究函数性质的必要性、合理性与内在的逻辑性；能感受由函数的变量说发展到对应说过程中所蕴含的数学的自然美、联系美、简洁美和抽象美.创造层次：能从函数概念形成的过程中，领悟到数学从常量到变量发展过程中人们采用的策略与方法，如符号化思想、数形结合思想等，能自主探索、建构函数的相关概念、函数的表示，弄清函数与方程、不等式的联系．

在讲完函数表示法的概念和例题后，我要求学生作一个归纳总结，由于教材例题和练习的局限性，学生得出的结论是：列举法、解析法和图像法可以相互转化，于是我利用必修1(苏教版)P32的探究·拓展的第10题，引出狄利克雷函数要求学生研究其图像，经过一番探索后发现，其图像象“电子云”一般无法画出，学生中发出了阵阵惊呼声，待研究函数的单调性、奇偶性和周期性时，由于它的奇异性，又多次掀起了教学的高潮，从而体现了函数形式化定义的数学价值，强化了符号化思想，感受了数学的内在魅力，从而引导学生对函数的认识逐渐上升到评价层次.

在研究方程时，遇到这样一道习题：就m的不同取值，讨论方程2x2-x+m=0在区间[-1，1]上根的个数.多数学生分类讨论陷入困境，引导学生把它转化为函数来分析，结合二次函数的图象，问题就显得简洁明了了.在研究不等式时，碰到这样一道习题：已知a，b，c∈(-1，1)，求证ab+bc+ca+1>0.开始几乎所有学生都束手无策，如果把不等式的左边看成关于某个元的函数，如f(a)=(b+c)a+bc+1，问题就变得豁然开朗了.通过这样不断的渗透，结合复习时的专题训练，引领学生对函数的认识逐步上升到创造层次.

文章来源：《诊断学理论与实践》 网址: http://www.zdxllysj.cn/qikandaodu/2021/0629/505.html